newton

Real Mathematics – Strange Worlds #4

Orange Season

I like using oranges for mathematics because I think they taste awesome. Also, its shape is close to Earth’s shape which I believe is a cool resemblance. Even though I’d love to, I can’t take credit for using orange with examples about Earth. It belongs to a deep and important dispute in the history of science.

17^th century is known as the century when the modern science was born. Giovanni Cassini, an Italian astronomer was born in this century along with so many other important figures. He is famous with discovering Saturn’s rings and its four big moons. In addition, he went into a big dispute with Isaac Newton, who is known as the father of modern physics. I’ll save Newton’s introduction for another article.

Dispute began with Cassini’s measurements which he did with his son. Those measurements led him to a wrong conclusion. He resulted that Earth is elongated at the poles, like a lemon. On the other hand, Newton had explained that Earth is flattened at the poles, like an orange. This was a result Newton reached after his gravitational laws. Unfortunately for Newton, Cassini openly rejected Newton’s gravitation laws which made him adopt his stance even harder after the measurements he had for determining the shape of Earth.

gravity-orange-lemon-small (2) — Newton suggested that Earth’s shape is like an orange as Cassini wrongly claimed that it looks like a lemon.

This dispute continued for almost forty years until French Geodesy Mission (1736-1744) was completed. Measurements and calculations had proven Newton right: Earth was shaped like an orange.

Finding Circumference

Stick two equal-sized straws on an orange.

Direct a flash lamp to one of the straws so that it doesn’t have a shadow.

If the distance between those straws is given, is it possible to calculate the circumference of the orange?

Second-Best of Everything

Eratosthenes was born in the ancient city of Cyrene, at around 3^rd century BC. He is known as the person who discovered (or invented) geography. There is an interesting take from Thomas Hearth (1861-1940) who was an important historian of mathematics specifically on ancient Greek mathematics: “Eratosthenes was great on every subject of science, but he was never ‘the best’ in one area. You may imagine him like an athlete who competes in every branch of Olympics but comes second in those competitions.”

Even though he founded an important science branch like geography, Eratosthenes is known with calculating the circumference of the Earth almost 2200 years ago. And he did it with a surprising accuracy. But how did he manage it?

Eratosthenes realized on a summer day that he had no shadow at noon in Cyrene. Although at the same time when he tried it in Alexandria he saw a shadow. Eratosthenes believed that Earth was round and Sun is too far away from Earth. He also thought of light rays travel as parallel lines which is why he made an experiment that took place in Cyrene and Alexandria. He observed a tall tower’s shadow in Alexandria when there is no shadow in Cyrene. Eratosthenes measured that the shadow of the tower makes a 7,2-degree angle with its bottom. He also had the distance between two cities measured that enabled him to calculate the circumference of the Earth.

A as Cyrene and B as Alexandria.

Eratosthenes used an ancient Greek measurement called “stadium” in his calculation. Since a stadium means something between 154- 215 meters, we are not 100% sure what his calculation was. In the end, his solution and method was good enough to put him into the highlights of the history of science.

Circumference of the Orange

Now that you know Eratosthenes’ method, could you find the circumference of the orange?

Hint: The angle straw makes is 12 degrees and distance between straws is exactly 1 cm.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #4

Portakal Mevsimi

Yine portakal kullanarak bir deney yapacağız. Portakal, şekil olarak Dünya’nın şekline yakın olmasının yanı sıra tadı sayesinde kanımca en güzel meyvedir. Ama portakal ile Dünya’nın ilişkilendirilmesi bana özgü değil.

Modern bilimin başladığı zaman dilimi olarak bilinen 17. yüzyılda dünyaya gelen İtalyan astronom Giovanni Cassini, yaptığı gözlemlerle bilim tarihinde kendine önemli bir yer elde etmişti. Satürn’ün halkalarını ve dört büyük uydusunu keşfeden kişi olan Cassini, modern fiziğin babası olarak görülen İngiliz Isaac Newton ile Dünya’nın şekli hakkında 40 yılı aşkın bir tartışmaya girmişti.

Cassini 1700’de oğlu ile yaptığı ölçümler sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplara doğru uzun ve ince olduğu gibi yanlış bir izlenim edinmişti. Newton ise kendisine büyük bir ün kazandıran yer çekimi kanunu sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplardan hafif basık olduğunu söylemişti. Cassini, ölçümünü yapmadan önce de Newton’un yer çekimi kanununu reddettiği için bulduğu sonucun doğruluğunu şiddetle savunmuştu.

Tartışmayı sonlandıran olay 1736-1744 yılları arasında yapılan ünlü Fransız Jeodezi Görevi’nin raporuydu. Bu görevde elde edilen sonuçlar Newton’u doğrulamıştı. Portakal seçimini yaparken aklıma hep bu olayı getiririm.

Çevre Bulmak

Bir portakalın üzerine kısa bir aralıkla iki tane kule dikin.

El feneri veya lamba kullanarak kulelerden birinin üzerine dik gelecek şekilde ışık tutun.

Kuleler arasındaki mesafe bilinirse, portakalın çevresi hesap edilebilir mi?

En İyi İkinci

Milattan önce 3. yüzyılda antik Kirene şehrinde doğmuş olan Eratosthenes, coğrafya bilimini başlatan bilim insanı olarak bilinir. Antik Yunan matematiğiyle ilgili çalışmaları bulunan Thomas Heath (1861-1940) Eratosthenes için ilginç bir betimleme yapar: “Eratosthenes birden çok bilim alanında usta sayılan biri olmasına rağmen, hiç bir alanda ‘en iyi’ olmamıştı. Onu tüm olimpiyat yarışmalarına katılan ama hepsini ikinci bitiren bir atlet olarak düşünebilirsiniz.”

Coğrafya gibi çok önemli bir bilim dalını başlatmış olmasına rağmen Eratosthenes’in asıl ünü günümüzden 2200 yıl önce Dünya’nın çevresini hesaplamasından gelir. Eratosthenes’in Dünya’nın çevresi için bulduğu sonuç, bugün bilinen sonuca şaşırtıcı derecede yakındır. Peki bunu nasıl başarmıştı?

Eratosthenes yaşadığı şehir olan Kirene’deyken yaz aylarında belli bir günde hiç gölgesinin olmadığını fark etmişti. Fakat aynı gün aynı saatte İskenderiye kentinde gölgesinin olduğunu gözlemlemişti.

A harfi Kirene’yi, B harfi ise İskenderiye’yi göstersin.

Eratosthenes Güneş’in Dünya’dan çok uzakta olduğunu ve Güneş ışınlarının paralel olarak yol aldığını düşünüyordu. Ayrıca Dünya’nın yuvarlak olduğu fikrine sahip olan Eratosthenes bu yüzden bir yaz gündönümünde Kirene’de gölge sıfırken İskenderiye’de uzun bir kulenin gölgesinin boyutlarını incelemişti

İskenderiye’deki gölgenin kuleye göre 7,2 derecelik bir açı yaptığını ölçen Eratosthenes, İskenderiye ile Kirene arasındaki mesafeyi (5000 stadyum) de bildiği için Dünya’nın çevresini hesaplamıştı.

Stadia (stadyumun çoğulu) bir antik Yunan uzunluk birimidir. Antik Yunanistan’da birden çok stadyum birimi kullanılıyordu ve bunlar 154 metre ile 215 metre arasındaydı.

Eratosthenes’in hesabında kullandığı ölçü birimlerinden tam olarak emin olamasak da, yaptığı hesap ve kullandığı yöntem zamanının ötesindeydi. Bu yüzden binlerce yıl sonra dahi hala yaptığı ölçümden bahsediyoruz.

Portakalın Çevresi

Eratosthenes’in yöntemini bildiğinize göre artık portakalın çevresini bulabilirsiniz.

İpucu: Portakala diktiğim gölgesi olan pipetin yaptığı açı 12 derecedir ve iki pipet arasında tam olarak 1 cm mesafe vardır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Strange Worlds #1

Euler Characteristic

Take a piece of paper and draw dots on it.
Draw as many lines as you want between those dots.
Lines may not cross.
Every dot must be connected with a path of lines.
Closed lines make a “face”.
Every plane has at least one face. It is the area of the plane and it lies on outside of the dots and lines.
In each time the formula
Number of Dots – Number of Lines + Number of Faces = 2
will justify itself. It is called Euler’s Polyhedron Formula.

Example 1: Three Dots

Put three dots on a paper and draw lines between them like following.

There are two faces as shown in the following photo.

Apply Euler’s formula and you will get two!

Example 2: Four Dots

Put down four dots on a paper and draw lines as following.

In total there are three face, four dots and five lines. Euler’s formula gives us the same result which is two!

Example 3: Five Dots

Five dots, seven lines and four faces are shown in the following photo which justifies Euler’s formula.

How about if you add a new dot?

Newly added dot F could give us three new lines and two new faces. At first it looks like Euler’s formula won’t add up this time.

However it works out just fine. Euler’s formula gives us the same result under these conditions.

Example 4: Five Dots and No Faces

You might be wondering what would happen if we don’t enclose the lines and create a face. We all know from the initial conditions that every plane has at least one face that is outside of the dots and lines.

Therefore we’ll draw four lines between our five dots. We can travel from one dot to another and no lines are crossed. Hence all conditions are justified.

In the end we realize that five dots, four lines and a face give us the result two when we apply them into the Euler’s formula. Euler is always right!

For Those Who Love History

Until now, Euclid and Euler’s names appeared in my articles frequently.

Euclid is the author of a book called Elements which has all the information that you learn in your geometry lessons until you graduate from high school. This is the reason why the geometry that is being taught in schools is called Euclidean Geometry.

On the other hand, Euler is known as one of the most productive scientists of all times with his archive of over 800 works.

Elements, what consists of 13 books about the foundations of mathematics, was written BC. 200s. For thousands of years countless scientists and philosophers learned mathematics with this magnificent work. Isaac Newton is known as the person who started modern science (and also labelled as the father of modern physics) had started learning mathematics with Euclid’s Elements.

Even 2000 years after it was written, Elements were known as the only source of geometry. In fact Immanuel Kant, who is one of the most influential philosophers of all time, claimed that it was illogical to think of geometry besides Euclid’s. This is one of the many reasons why geometry was believed to be completed and there was nothing else to be found in it. Kant had such a powerful influence over scientists even Gauss, who is called as the prince of mathematics and often cited as the greatest mathematician of all time, was afraid to express his thoughts about a new kind of geometry. I’ll be talking about Gauss and new geometry in another article.

Euler had a rare gift and an unprecedented will for solving problems which were thought as “impossible to solve”. His name is given to so many formulas thanks to his outstanding works. But there is a formula he found, most of the mathematicians in the world agree that it gives the most elegant result of mathematics. It is a formula that works for Euclidean geometry too. It is called Euler’s Characteristic.

One wonders…

How about three dimensions: Would Euler’s formula work for it too? For example, would it work for a sphere? Take a sphere, put random two dots on it and connect those dots. What do you see?

Take a third dot and connect it to the other two dots. What do you see now?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #1

Euler Karakteristiği

Boş bir kağıt parçasına noktalar yerleştirin.
Noktalar arasına istediğiniz kadar çizgi koyun.
Çizgiler birbirini kesmemeli.
Kağıtta bulunan noktaların her biri birbirine çizgilerle direk ve dolaylı olarak bağlanmış olmalı. Diğer bir deyişle herhangi bir noktadan diğerine çizgilerden bir yol olmalıdır.
Böylece şekilde “yüz” oluşturulur. Yüzler çizgilerle kapanmış alanlardır.
Çizgi ve noktaların dışında kalan alan da bir yüz olarak sayılır. Yani bir düzlemde en az bir tane yüz vardır.
Her zaman:
Nokta Sayısı – Çizgi Sayısı + Yüz Sayısı = 2
olur. Buna Euler’in çokyüzlü formülü denir.

Örnek 1: Üç Nokta

Üç nokta konulur ve aralara çizgiler çekilir.

Oluşturulan yüzler şu şekildedir.

Euler formülü uygulanır.

Örnek 2: Dört Nokta

Noktalar şekildeki gibi birleştirilir.

Toplam üç yüz, dört nokta ve beş çizgi vardır. Buradan Euler formülü bize aşağıdaki sonucu verir.

Örnek 3: Beş Nokta

Beş nokta, yedi çizgi ve dört yüz elde edilmiş olan şekil aşağıdaki gibidir.

Peki bu şekle bir nokta daha eklersek ne olur?

Yeni eklenen F noktasından üç çizgi ve iki yeni yüz çıkardık. Sanki Euler formülü bu sefer tutmayacak gibi!

Ama sonuç yine Euler’i haklı çıkarır. Altı nokta, on çizgi ve altı yüz bulunduran şeklimize Euler formülü uygulanınca cevap yine ikidir.

Örnek 4: Beş Nokta ve Sıfır Yüz

Her seferinde neden çizgilerle kapalı alan yapıyoruz diyebilirsiniz. Yani hiç yüz yapmadan noktaları birleştirirsek ne olur? (Biliyoruz ki her düzlemde nokta ve çizgilerin dışı bir yüz olarak kabul edilir. Bu nedenle her düzlemde en az bir tane yüz olur.)

O halde beş noktayı şekildeki gibi dört çizgiyle birleştirelim. Sonuçta Euler’in kuralına göre herhangi bir noktadan diğerine gidilebiliyor. Ayrıca birbiriyle kesişen çizgiler de yok.

Burada Euler formülü uygulanınca beş nokta, dört çizgi ve bir yüz vardır. Formül yine doğrudur.

Tarih Sevenler İçin

Şu ana dek okuduğunuz yazılarda iki isimden sıklıkla bahsettim: Leonhard Euler ve Öklid.

Öklid, okul geometrisi diyebileceğim (gerçek isimlerinden birisi Öklid geometrisidir) iki ve üç boyutlu geometrinin kaynağı olan kitapların yazarıdır. Euler ise 800’ün üzerinde çalışmasıyla tarihin en verimli matematikçilerinden biridir.

Öklid’in 13 kitaptan oluşan Elementler’i milattan önce 200’lerde yazılmıştı. Binlerce yıl boyunca sayısız bilim insanı Öklid’in kitaplarıyla sadece geometriyi değil matematiği öğrenmişti. Modern bilimi başlatan kişi olan bilinen, aynı zamanda modern fiziğin babası olan Isaac Newton dahil tüm bilim insanları Öklid ile matematiğe giriş yapıyordu.

Elementler yazıldıktan 2000 yıl sonra dahi geometriyle ilgili her şeyi içerdiğine inanılıyordu. Hatta 18. yüzyılda yaşamış olan tarihin en önemli filozoflarından Immanuel Kant, Öklid dışı bir geometrinin varlığını düşünmenin bile anlamsız olduğunu savunmuştu. Kant’ın özellikle Almanya’da bilim dünyasında sahip olduğu etki, Gauss gibi tarihin en iyi/büyük matematikçisi olarak görülen bir bilim insanını dahi bastırmıştı. Gauss’un başrol oynadığı bu konuyla ilgili başka bir yazım olacak.

İşte Euler, her şeyi bulunduğu düşünülen geometri konusuna çok önemli katkılarda bulunmuştu. Euler’in ismine atfedilen bir sürü formül vardır. Fakat kanımca tarihin en sade ve en güzel formülü budur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki Euler formülü üç boyutlu şekillerde işe yarar mı? Örneğin bir küreyi ele alın. Bu küre üzerinde iki nokta alın ve bu noktaları birleştirin. Karşınıza ne çıktı?

Aynı kürede üçüncü bir nokta alın ve bunu diğer iki noktayla birleştirin. Sonuç ne oldu?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Sayılar #1

Öncelikle bir konuda anlaşmamız gerekiyor; matematikle felsefe birbirinden ayrı düşünülemez! Bu savımı tarihi bir gerçekle destekleyebilirim. Bugün bilimle uğraşanlara verdiğimiz bilim insanı(scientist) unvanı yakın bir zamanda türetilmiştir. Örneğin 17. yüzyılda yaptığı çalışmalarla modern fiziğin yaratıcısı olarak gösterilen Isaac Newton için bilim insanı değil de doğal filozof(natural philosopher) unvanı kullanılmıştı. Günümüzde unutulan ya da bilinmeyen bu gerçek gösteriyor ki, bilimle uğraşırken felsefeden yararlanmamak imkansızdır.

Matematik Eğitimi – “Bu budur, ve cevap da şu olmalıdır.”

Maalesef okullardaki geleneksel matematik eğitiminde düşünmeye neredeyse hiç zaman bırakmıyoruz. Bu “geleneksel matematik eğitimi” lafının tam olarak neyi ifade ettiğini küçük bir örnekle açıklayalım. Bir öğrenme ortamında matematik öğretmeninin sayılar konusunu işlediğini düşünelim. Geleneksel matematik eğitimi gereği öğretmen, çocukların seviyesine uygun sayı türlerinin tanımlarını yapar.

Sayma Sayıları: 1’den başlayarak sürekli artan ve sonsuza dek devam eden sayıların oluşturduğu kümeye denir.

1, 2, 3, 4, 5, …

Doğal Sayılar: 0‘dan başlayarak sürekli artan ve sonsuza dek devam eden sayıların oluşturduğu kümeye denir. Sayma sayılarından tek farkı 0 sayısıdır.

0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Tek Doğal Sayılar: 2’ye bölündüğünde 1 kalanını veren doğal sayılara, tek doğal sayılar denir. Tek doğal sayılar 1’den başlar ve 2’şer artarak sonsuza dek devam eder.

1, 3, 5, 7, 9, …

Çift Doğal Sayılar: Tek olmayan doğal sayılardır. Bu yüzden 0’dan başlayıp 2’şer artarak sonsuza dek devam eden sayılar çift doğal sayılardır.

0, 2, 4, 6, 8, …

Tam Sayılar: Doğal sayılar kümesiyle sayma sayılar kümesinin negatifinin birleşmesiyle oluşan sayılardır. Bir diğer deyişle eksi sonsuzdan artı sonsuza dek uzanan sayıların oluşturduğu kümedir.

… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Asal Sayılar: Sadece 1 ve kendisine kalansız bölünebilen, 1’den büyük pozitif tam sayılardır.

2, 3, 5, 7, 11, …

Geleneksel matematik eğitiminin hatası tanım vermek değil. Sorun, tanımları bu şekilde verdikten sonra derhal soru çözdürülmeye geçilmesiyle başlıyor. Öğrenci sadece tahtaya yazılanı alıp, tanımın çerçevesinden çıkmadan problemleri çözmeye odaklanıyor. Bu süreç içerisinde öğrencinin düşünmeye vakti olmadığı gibi matematiğin sadece sonuç odaklı olduğu kanısı yerleşiyor.

Peki ne yapmak gerekir?

Yukarıdaki tanımlarda sonsuzluk, sıfır ve eksi gibi kavramların geçtiğini fark etmenizi istedim. Altlarında derin düşünceler yatmakla birlikte, üç kavram da insanlık tarihine kıyasla çok yenidir. Örneğin sıfırın sayı sisteminde anlam kazanması sadece 1350 yıl önce gerçekleşmiştir. Fakat bu, sıfırın dünyanın her yerinde hemen kullanılmaya başlandığı anlamına gelmez. Avrupa’da sıfırın ilk kullanımı 12. yüzyıl civarındaydı. Yani Hindistan’da ortaya çıkışından yaklaşık 500 yıl sonra! (Bu konuya daha sonra tekrar değineceğim.)

Eksi sayılar, sıfırın tanımlanmasından çok önce kullanılıyor olmasına rağmen, 16. yüzyılda büyük matematikçilerin “yanlış sayılar” diye tanımladığı sayılardı. Eksi sayı kavramıyla insanlığın tam olarak barışması son iki yüz senede gerçekleşmiştir. Bugün çocukların eksi sayıları anında anlayıp işlemlerde kullanmaya başlamasını bekleyerek onlara ne büyük bir yanlış yaptığımızı görüyorsunuz.

Üç kavram arasında sonsuzluk daha zor görünebilir. Fakat onun için de çok popüler bir tanımımız var: Bitmeyen, zamanın sonuna dek devam eden, ebedi. Oysa matematikte sonsuzluğun çok daha derin manaları vardır. (Sayılabilir sonsuzluk, birbirinden farklı büyüklükte sonsuzluklar gibi.)

Hilbert’in Sonsuzluk Oteli

20. yüzyılın en etkili matematikçilerinden biri olan David Hilbert’in ortaya attığı bu problem sonsuzluk paradoksu olarak da bilinir. Hilbert’in otelinde sonsuz sayıda oda vardır ve işlerin harika gittiği bir günün sonunda otelindeki tüm odalar dolmuştur. Otelin müdürü olduğunuzu ve her yeni müşterinin sizin için komisyon anlamına geldiğini düşünün.

Otele yeni bir müşteri gelirse, bu müşteriyi geri çevirir misiniz? Eğer müşteriyi kabul ederseniz, hangi odayı nasıl bir yöntem izleyerek boşaltıp müşteriye verebilirsiniz?
Bir kaç saat sonra sonsuz sayıda müşterinin otelin kapısına yığıldığını gördünüz. Müşterileri kabul etmek için ne yapmanız gerekir?
Bu problemleri çözüp rahatladığınızı düşündüğünüz sırada bu sefer otele her birinde sonsuz sayıda müşteri taşıyan sonsuz tane otobüs geldiğini gördünüz. Tanrı aşkına, oteliniz o kadar büyük mü?

Bu üç soru üzerine düşünmek, sayı çeşitlerini anlarken öğrencilere çok büyük yardımda bulunur. Eğer bu soruyu daha önce hiç görmediyseniz, internetten uzak durun ve çocuğunuzla düşünmeye başlayın. Zamanınız kısıtlı olsa bile, en azından 1-2 saat düşünün. Sonucu bulmanız değil, ne kadar süre düşündüğünüz önemli. Bu yüzden yorum kısmına sonucu değil düşünceleriniz yazmanız dileğiyle.

M. Serkan KALAYCIOĞLU

Matematiğin En Önemli Keşfi

Modern çağı yaşadığımız bu dönemde bile insanlık tarihiyle ilgili bir çok konu üzerine hala konuşuruz: ateşin ve yazının bulunması gibi. Nedense insanlık tarihinin en önemli olaylarından birinden bahsetmeyi ihmal ediyoruz: sayıların bulunmasından. Dikkat ederseniz ateş ve yazı gibi sayılar da bulunmuştur, icat edilmemiştir. Tekerlek ile bilgisayar icat edilmişken, ateş ile sonsuz boyutlu uzay ise bulunmuştur. Bir başka deyişle tekerlek ve bilgisayarı biz yaratmışken, ateş ve sonsuz boyutlu uzayın doğada kendiliğinden var olduğunu keşfetmişizdir.

Matematik denince akla gelen ilk şey sayılardır. Herhangi bir ortamda matematikçi olduğunuzu söylediğinizde en çok duyduğunuz şeylerden biri “o halde sayılarla aran çok iyi” cümlesidir. Peki matematiğin bel kemiği olduğunu düşündüğümüz sayılar hakkında neler biliyoruz? Sayılar nereden gelmiştir? Bugün kullandığımız sayı sembollerini ve sayı sistemini kimler bulmuştur ve bunların bize şu an faydası var mıdır?

Babil’den Hindistan’a: Modern Bilim Öncesi Sayılar

Çentik:

çentik

Bugün filmlerde hapishane duvarına çizilmiş olarak karşımıza çıkan bu semboller, aslında insanlık tarihinde bilinen ilk sayı sembollerinden birisidir. Her türlü gelişmede olduğu gibi, insanların ihtiyaçları sonucunda çentik sistemi de evrilmek zorunda kalmıştır.

Sümer ve Babil: Tarihte Mezopotamya uygarlığın doğduğu yer olarak geçer. Mezopotamya uygarlıklarının bu denli önemli olmalarının bir çok nedeni vardır. Örneğin bu uygarlıklarda sulama sistemleri, hukuk sistemleri ve hatta posta kurumları dahi bulunuyordu. Bunların yanı sıra yerleşik hayata geçtikten sonra ihtiyaç olan matematik konusunda da çok özel uygarlıklar burada yaşamış.

Kayıt tutulmaya başlanması ile sayılara ihtiyaç duyulmuştu. Önce semboller ve bazı kurallar icat edildi. Bu sembollerin belli kurallarda ilerlemeleri lazımdı ki toplama-çıkarma-çarpma-bölme yaparken kolaylıklar sağlansın. Uygarlıklar artık tarım için tarlaların alanlarını hesaplamak zorundaydılar. Kurulan pazarlarda alışveriş yaparken belli ölçüm sistemleri ve matematiğe ihtiyaçları vardı. Durum bu iken yaklaşık 5500 yıl önce yaşamış olan Sümerlilerin bulduğu sayı sistemini 1500 yıl sonrasında Bağdat civarında var olan Babil uygarlığı da kullanmış, hatta bugün dünyanın her yerinde modern insanlar Mezopotamya’da bulunan sayı sistemini kullanıyor.

sümer

Sümer ve Babillilerden günümüze kalan tabletler incelenince, sayıları göstermek için 60 tabanını baz aldıklarını görüyoruz. Tarihteki ilk sayı sistemi olan 60’lık sayma sistemi zamanla büyük sayıları göstermek için kullanışsızdı. El ile yapılan tüm işlemler, özellikle sayı büyüdükçe çok uzun zaman almıştı.

Neden 60?

İskenderiyeli Theon’a göre 1,2,3,4 ve 5 sayılarıyla tam bölünebildiği için 60.

Moritz Cantor’a göre Sümerliler bir yılı 360 gün olarak düşündükleri için 60.

Kimisine göre bir senedeki ay sayısı ile gezegenlerin (Merkür, Venüs, Mars, Jüpiter, Satürn) sayısının çarpımı olduğu için 60.

60 bugün ne işimize yarıyor?

Her ne sebepten olursa olsun Mezopotamya topluluklarının bulduğu 60 sayı tabanı gündelik hayatımız için de, matematiğin gelişmesi için de çok önemli. Bugün 1 saat=60 dakika, 1 dakika=60 saniye eşitlikleri bu sistem sayesindedir. Aynı zamanda bir çemberin merkezinin 360 derece kabul edilmesi de yine 60 tabanlı sayı sistemi sayesindedir.

Bugünden 5500 yıl önce bulunan bu sayı sistemi sayesinde insanın zamanı belli olmuştur. Ayrıca matematiğin geometri kısmının ilerlemesi için çok kilit bir yer tutan çember için de bir baz oluşturan yine 60 tabanlı sayı sistemidir.

Mısır: İnsanlık tarihinin en önemli uygarlıklarından biri olan Mısır uygarlığında matematik sosyal hayatta önemli bir rol oynamıştır. Bugün elimizde bulunan en eski matematik dökümanları olan Papirüsler sayesinde Mısır’da matematiğin nasıl geliştiği hakkında fikir sahibi olabiliyoruz.

mısır1

Mısırlılar bugün kullandığımız 10 tabanlı sayı sistemini ilk kullanan uygarlıktır. Ellerimizdeki parmak sayısını düşünerek geliştirilen bu sistem, hızlı saymayı da kolaylaştırmıştır.

mısır2

M.Ö. 1800’lerde Mısır uygarlığı sayıları göstermek için bazı semboller kullanmışlar. Görece ufak sayılar için kullandıkları sembollerden bazıları yandaki gibidir. Sayılar büyüdükçe yazımda kolaylık yapmak için ise yeni sembollere ihtiyaçları olmuş. Örneğin 100.000 sayısını göstermek için kuş çizimlerini kullanmışlar. Fakat şekilde de gördüğümüz üzere, özellikle kesirli sayıların gösterimi yeterince karışık ve de uzun olmuştur. Medeniyetlerin büyümesi ile daha kolay sayı gösterimi ihtiyacı devam etmiştir.

Helenistik dönem ve Roma:

roma1

Bugün çoğu zaman geometride veya felsefede isimlerini duyduğumuz Antik Yunan düşünürleri aslında matematiğin gelişmesine bir çok alanda yardımcı olmuşlardır. Yunan matematikçileri, Mısırlılara benzer bir şekilde 10 tabanını baz alan bir sayı sistemi düşünmüşlerdir. Sonrasında gelen Roma imparatorluğunda kullanılan ünlü Roma rakamlarının sembollerinin öncüsü olarak düşünülebilirler.

roma2

Yunan ve Romalıların kullandıkları sayı sistemleri, basit cebirsel işlemleri yaparken dahi insanların zaman ve enerjilerini tüketiyordu. Hala sıfır sayısını gösteren bir ifadenin olmaması ise uygarlıklarda stok, nüfus sayımı, asker alımı ve benzeri işlemlere ihtiyacı olan devletleri zorluyordu. Bu zorlukları aşmak için uzun bir zaman beklenecek ve haritanın doğusuna kaymak gerekecekti.

Brahmagupta ve Sıfır: Onbinlerce yıl önce atılan çentiklerden, M.S. 600 yılına dek insanoğlu sayılar ile ilgili sürekli bir gelişme içindeydi. Fakat bir sorun hala giderilemiyordu; rakam sistemleri kuran toplumlar sayıları yazarken sıfır(0)ın eksikliği dolayısıyla karışıklıklar yaşıyordu. Örneğin Çinli bürokratlar aldıkları notlarda 27 ile 207 sayılarını aynı şekilde yazmak zorunda kalıyorlardı, çünkü sıfırı gösterebilmek için bir sembolleri yoktu. Bir süre sonra sıfır yerine boşluk kullanmaya çalışsalar da yaşadıkları karışıklık bir türlü giderilmemişti.

Mısırlılar ise sıfır için göz resmetmeyi seçmişlerdi. Fakat Mısırlılar sıfırı değersiz düşünüyorlardı. Tıpkı Babilliler gibi. Roma ve Antik Yunanlılar için ise sıfır sayısı “sayısızlığı ifade eden bir sembol”den başkası değildi. Çinlilerin boşluk kullanması gibi, 600’lü yıllara kadar sıfır demek “hiçlik” ile aynı manaya geliyordu. Örneğin İngilizce’de sıfır için (artık kullanılmayan bir kelime olan) “nought” kelimesi kullanırdı. Nought’un anlamı ise “hiç”tir.

7. yüzyılda ise herşey değişecekti. Hindu Brahmagupta’nın yazdığı “Brahmasphutasiddhanta” adlı kitap matematiği durduralamaz bir yükselişe geçirecekti. Rivayetlere göre Bhaskara I sıfır sayısını ilk kez açıklayan insan olsa da, Brahmagupta bunu kitaplaştırıp açıklayan ilk matematikçidir. Brahmagupta’nın ilk kez açıkladıkları arasında: 1+0=1, 1-0=1, 1*0=0, 0-0=0 gibi aksiyomlar var.

Bunların yanı sıra eksi sayıları da ilk kez açıklayan yine o olmuştur. O güne kadar 3-4=? sorusuna cevap yoktu. Brahmagupta’ya göre ise cevap sıfırın “borç” tarafında 1’dir, Hindu matematikçi eksi/negatif ortaya çıkmadan önce terim olarak “borç” kelimesini kullanmıştı. Bugün hiç düşünmeden kabul ettiğimiz ve cebirin temelini oluşturan bu açıklamalar yaklaşık 1300-1400 yıl önce insanlığın bilgi dağarcığına girmişti. Brahmagupta sayesinde ilk kez 10 tabanlı sayı sistemimiz tamamlanmış ve açıklanmıştı. Yine bugün kullandığımız rakam sembollerinin de temeli o günlerde atılmıştı.

Brahmagupta sıfırın anlamını çözdükten sonra eksi sayıları açıklayarak yeni bir sürü probleme neden olmuştu. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerle (örneğin x^2 +3=12 için) ilgili olarak bilinmeyenin iki tane cevabı olması gerektiğini ortaya çıkarmıştır. Brahmagupta bununla da yetinmeyip ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler, lineer iki bilinmeyenli denklemler gibi problemleri çözmüştür ki 1657 yılında Pierre de Fermat’a kadar bunları çözmeye hiç bir batılı bilim insanı yeltenememiştir bile. Tam 1000 yıl!

Brahmagupta’nın çözemediği ve anlamlandıramadığı en önemli sorulardan bir başkası da açıklanmak için 1000 yıl beklemek zorunda kalacaktı: herhangi bir sayının sıfıra bölümü bize hangi sonucu verirdi acaba?

Modern Çağda Sayılar

Değeri Bilinmeyen Dahi: Leibniz

7. yüzyılda sıfırın da işin içine girmesinden sonra 10 tabanlı sayı sistemi, tüm matematiğin temelini oluşturmuştu. 17. yüzyılın ikinci yarısında matematiğin en eski dalı olan sayı kuramıyla alakalı gelişmeler inanılmaz bir hızda devam ediyordu. 1650-1700 arası dönemde iki bilim adamı herkesin önüne geçiyordu: Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz. Birini duymayanımız yok iken, diğeri hak ettiği ünü maalesef hiç bir zaman kazanamayacaktı.

İngiliz Newton, yer çekimi yasasını bulmasının yanı sıra güneş sistemindeki gezegenlerin eliptik bir yol ile hareket ettiklerini keşfederken, yazdığı Principia adlı kitap ile matematikte integral calculusu(yani hesaplama) icat etmiştir. Onunla aynı zaman zarfında yaşayan Leibniz ise Almanya’nın Hannover kentinde, yine aynı anda integral calculusunu kitap haline getirmiştir.

Bilim dünyasında calculusu ilk icat edenin kim olduğuna karar verilmesi için Leibniz İngiltere’de bilimin üretildiği yer olarak kabul edilen Royal Society’e davet edilmiş, Newton’un başkanlığını yaptığı kurul sonuç olarak calculusu ilk bulanın Isaac Newton olduğunu kabul etmiş, Leibniz’in ise calculusu ilk kez yazılı hale getirdiğe karar vermiştir. Gerçek olan ise tüm Avrupa calculus kelimesini ilk önce Leibniz’in 1684 yılında bastırdığı kitabında duymuştu. Newton’un calculus ile ilgilenmesi 1660’lara kadar gidiyorsa da 1693’e kadar calculus ile alakalı hiç birşey yayınlamamıştı. Bugün integral ve türevin calculusunda kullandığımız sembollerin tamamı ise ilk olarak Leibniz tarafından ortaya konmuştu. Calculusu ilk kimin icat ettiği ise başka bir günün konusu.

Binary

yiçing

Leibniz’in hepimiz için ne kadar önemli bir figür olduğunu sadece soyut matematiğinin yaratıcılarından biri olmasıyla açıklayamayız. Alman filozofun bir başka buluşu bize teknolojinin kapılarını açmıştır.

Yi-Çing, bir tarih kitabı olmasının yanı sıra günümüzde dahi hala sahiplenilen bir yaşam felsefesidir; içinde karşıt ikilileri barındırır. Leibniz’e göre bu felsefedeki iyi sayı olarak 1, kötü ise 0 olarak gösterilebilir. Sonuçta Leibniz, Antik Çin’den beri binlerce yıllık felsefeyi de barındıran Yi-Çing üzerine uzun uzun düşünmeleri sonucunda “binary number system”i icat etmiştir.

binary

Türkçe’de ikili sistem adını verdiğimiz “binary number system”, bugün 10 sayı tabanı dışında en çok kullandığımız sayı sistemidir. 2 sayı tabanını bulan Leibniz’in amacı, sadece 0 ve 1 rakamlarını bulunduran bu sistemi mekanikleştirmekti. İlk düşüncesine göre 0 ve 1 çok kullanışlıydı. 0 yanlış, 1 ise doğru anlamına gelebileceği gibi 0’ı kapalı, 1’i ise açık olarak da kullanabilirdik.

Leibniz, tarihteki ilk 10 tabanını 2 tabanına dönüştürebilen makinenin çizimlerini yapmıştır. O’nun sayesinde 2’li sistem var olmakla birlikte, kurduğu hayaller şu an dünyamızın birer gerçeği. Bugün kullandığımız tüm teknolojik ürünlerde on/off(açık/kapalı) mantığını kullanıyoruz. Tüm bilgisayarlar 0 ve 1 mantığına göre programlanmıştır. Yani artık ceplerimizde taşır hale geldiğimiz akıllı telefonlar da dahil olmak üzere, tüm teknolojik aletlerin çalışma mantığı Leibniz’in ikili sistemi sayesinde ortaya çıkmıştır. Bilgisayar kodlamasının da ötesine geçelim; elektrik devrelerinin tamamı 0/1 mantığı üzerine kuruludur. Elektrik barındıran tüm eşyalarımızı düşünürsek Leibniz’in hayatımıza ne kadar çok alanda girdiğini görebiliriz…

M.Serkan Kalaycıoğlu