February 2019

Real MATHEMATICS – Strange Worlds #12

“More to this than meets the eye…”

I will be using a real life example in order to explain Mandelbrot’s answer to the coastline paradox.

Maps of Norway and USA are as shown below:

It is clear to the naked eye that total coastline of USA is enormous comparing to Norway’s coastline. Nevertheless there is more to this than meets the eyes. Norway’s coastline is a lot longer than USA’s:

USA: 19.924 km

Norway: 25.148 km

There are more than 5000 km between the coastlines which is a really surprising result. But when you zoom into the maps it is easy to see that Norway’s coastline is way more irregular than USA’s. In other words Norway’s coastline has more roughness. Mandelbrot expresses this in his fractal geometry as follows: Norway coastline has a bigger fractal dimension than USA coastline.

But this doesn’t necessarily mean that a bigger fractal dimension has more length. Length and fractal dimension are incomparable.

Measuring Device

In the coastline paradox we learned that one decreases the length of his/her measuring device, then length of the coastline will increase. This information brings an important question with itself: How did they decide the length of the measuring device for Norway-USA comparison?

This is where fractal dimension works perfectly: Finding the appropriate length for the measuring device.

Q: This is all very well how can a coastline length be measured exactly?

Unfortunately it can’t be done. Today, none of the coastline or border lengths are 100% accurate. Although we are certain about one thing: We can make comparisons between coastlines and borders with the help of fractal dimension. In short, today we are able to compare two coastlines or borders even though we are not sure about their exact length.

Box Counting

Finding fractal dimension is easier than you’d think. All you need to do is to count boxes and know how to use a calculator.

Let’s say I want to calculate the fractal dimension of the following shape:

Assume that this shape is inside a unit square. First I divide the square into little squares with side length ¼ units. Then I count the number of boxes which the shape passes through:

This shape passes through exactly 14 squares.

Up next, I divided the unit square into even smaller squares which have side length 1/8 units. And again I count the number of boxes which the shape passes through:

This time the shape passes through 32 squares.

Then I use a calculator. In order to find the fractal dimension of the shape, I must find the logarithms of the number of boxes (32/14) and length of the squares ({1/8}/{1/4}). Then I must divide them multiply the answer with -1.

This random shape I drew on my notebook has around 1,19 fractal dimension.

One wonders…

Calculate the fractal dimension of the following shape:

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #12

Göründüğü Gibi Değil

Sahil şeridi paradoksuna Mandelbrot’un yaptığı açıklamayı gerçek bir örnek üzerinden giderek göstereceğim.

ABD ile Norveç’in yüz ölçümleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

Görünürde ABD lehine bariz bir fark olmasına rağmen Norveç’in kıyı şeridi ABD’nin toplam kıyı şeridinden çok daha uzundur:

ABD: 19.924 km

Norveç: 25.148 km

Bu, Norveç kıyılarının aşırı derecede girintili-çıkıntılı olmasından kaynaklanır. Yani Norveç’in kıyı şeridi ABD’nin kıyı şeridine göre çok daha pürüzlüdür. Mandelbrot bunu fraktal geometrisinde şöyle ifade eder: Norveç kıyı şeridinin fraktal boyutu ABD’ninkinden daha büyüktür.

Fakat bu, fraktal boyutu büyük olan şeklin daha uzun olduğu anlamına gelmez. Uzunluk ile fraktal boyut arasında bir karşılaştırma yapılamaz.

Ölçü Aleti

Sahil şeridi paradoksuna göre biz ne kadar küçük bir ölçü aleti seçersek, ölçülen uzunluk o derecede büyük çıkar. Peki ABD ve Norveç’in kıyı şeritleri hesaplanırken ölçü aletinin uzunluğu nasıl belirlendi?

İşte fraktal boyut burada işe yarar: Ölçü aletinin büyüklüğünü seçmede.

O halde Norveç ile ABD’nin kıyı uzunluklarını kıyaslamak için bunların fraktal boyutlarını hesaplamamız gerekir. Fraktal boyutları da bize seçilecek ölçü aletinin büyüklüğünü verir ki bu sayede iki kıyı arasında kıyas yapılabilir.

Soru: İyi ama bir sahil şeridinin tam uzunluğu nasıl ölçülür?

Maalesef ölçülemez. Bugün kıyı ve ülke sınırları için bilinen rakamların hiçbiri %100 doğru değildir. Ama emin olduğumuz bir şey var ki o da fraktal boyutu sayesinde kıyaslama yapabiliyor oluşumuzdur. Yani tam olarak uzunluğu bilemediğimiz halde herhangi iki kıyı veya sınırın hangisinin daha uzun olduğunu bilebiliyoruz.

Kutu Sayma Yöntemi

Fraktal boyut hesabı yapmak için sadece kutu sayma ismiyle bilinen basit bir yönteme ve hesap makinesine ihtiyacınız var.

Diyelim ki aşağıda gösterilen şeklin fraktal boyutunu bulacağız:

Şekil 1×1 birimlik bir karenin içinde olsun. Öncelikle şeklin tamamını kenarı 1/4 birim olan karelere bölelim ve şeklin sınırının geçtiği kareleri sayalım:

Şeklin sınırı 14 tane karenin içinden geçer.

Daha sonra şekli bir kenarı 1/8 birim olan karelere bölelim ve yine sınırın geçtiği kareleri sayalım:

Bu sefer şeklin sınırı 32 tane karenin içinden geçer.

Hesap makinesi kullanarak sınırın geçtiği kare sayılarının birbirine bölümünün logaritmasını (yani 32/14’ün logaritmasını), kare boyutlarının birbirine bölümünün logaritmasına (yani {1/8}/{1/4}’ün logaritmasına) bölüp sonucu eksiyle çarparsak şeklin fraktal boyutunu buluruz:

Rastgele çizdiğim şeklin fraktal boyutu yaklaşık olarak 1,19’dur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki şeklin fraktal boyutunu hesaplayın:

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Strange Worlds #11

Fractional Dimension

When you try to measure the length of a coastline, your finding will increase as your measuring device decreases. It means that there is a proportion between these magnitudes. This is why it is possible to find different (even infinite) lengths for a random coastline.

Mathematician Mandelbrot named this proportion as “fractal dimension”.

In the Euclidean geometry a dot has 0, a line has 1, a plane has 2 and a cube has 3 dimensions. But, in the nature shapes of objects are not regular as shown in the Euclidean geometry. In the early 20^th century a mathematician named Felix Hausdorff discovered that some shapes have non-integer dimensions. Later on we started calling this non-integer dimension idea as Hausdorff-Besicovitch dimension. This idea was basis for fractal geometry’s development.

In the previous article I showed how one can calculate dimension of a shape in the Euclidean geometry. Same formula can be used in order to calculate objects that don’t have regular shapes. For that, I will be talking about a couple special fractals.

Snowflake

Swedish mathematician Helge von Koch created a geometrical shaped named after him: Koch snowflake.

To create a Koch snowflake, one can start drawing a straight line. Then that line should be divided into thirds as the middle part gets erased:

Draw sides of an equilateral triangle above the removed segment: (In other words, add a peak where there is a gap.)

Continue the same process forever and you will get Koch fractal:

Here are the segments and all of Koch snowflake:

Now let’s use the dimension formula to the Koch snowflake. We only need the number of parts and their lengths in each step of the construction of the Koch snowflake.

In the first step, we had a straight line that was divided into 1/3s:

In the second step we ended up with 4 of those 1/3s:

If we examine each step of the Koch snowflake we will end up with 4 parts that have 1/3 lengths. Therefore fractal dimension of Koch snowflake (which I call d) can be found as follows:

(1/3)^d = 4

d ≈ 1,26.

Koch Curve

Let’s try a variant of the Koch snowflake, which we call Koch curve. This time we will draw sides of a square instead of an equilateral triangle.

So, we will start with a straight line that is divided into thirds. Then we will remove the middle part and draw sides of a square that has no bottom line:

Next few stages of the Koch curve will look like the following:

Here we see that in each step, we end up with 5 parts that have length 1/3:

Apply this to the dimension formula and this fractal’s dimension will be as follows:

(1/3)^d = 5

d ≈ 1,4649.

What does this difference in dimensions mean?

Between the curve and the snowflake, curve has more roughness and it takes up more area than the snowflake. Hence one can conclude that higher dimension means more roughness and more area for Koch fractals:

To be continued…

One wonders…

Another handmade fractal is Sierpinski triangle. This famous fractal was first discovered more than 100 years ago and named after a mathematician named Waclaw Sierpinski.

To construct Sierpinski triangle, one must start with an equilateral triangle:

Then mark middle of each side and connect those points to form a new triangle:

At this point, there are four smaller versions of the original triangle. Cut the middle one out and you will have three equilateral triangles that have half of the side lengths of the original triangle:

Repeat the steps forever and you will get Sierpinski triangle:

Show that Sierpinski triangle is a fractal.
Calculate the dimension of the Sierpinski triangle and compare your result with Koch snowflake.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #11

Kesirli Boyut

Bir sahil şeridinin uzunluğu hesaplanırken kullanılan ölçü aleti ne kadar küçülürse hesaplanan uzunluk o derecede büyür. Bu da sahil şeritlerinin farklı (hatta sonsuza yakın) uzunlukta bulunabileceğini gösterir.

Mandelbrot sahil şeridi uzunluğunun büyümesi ile ölçü aletinin küçülmesi arasındaki orana “fraktal boyutu” ismini vermişti.

Öklid geometrisinde nokta 0, çizgi 1, kağıt 2, küp ise 3 boyutludur. Fakat doğada her şey Öklid geometrisinde gösterildiği gibi düzgün değildir. 20. yüzyılın başında Felix Hausdorff ismindeki bir matematikçi bazı şekillerin kesirli boyutlara sahip olduğunu göstermişti. Daha sonra Hausdorff-Besicovitch ismini alan kesirli boyut fikrini ele alan Mandelbrot fraktal geometrinin temellerini atmıştı.

Bir önceki yazıda Öklid geometrisinde boyut hesabından bahsetmiştim. Fraktal geometrisinde de şekillerin boyut derecesi hesaplanırken aynı formül kullanılır. Formülü test etmek için önce birkaç özel fraktaldan bahsetmem gerekiyor.

Kar Tanesi

İsveçli matematikçi Helge von Koch’dan ismini alan Koch kar tanesi diye de bilinen şekil, fraktal geometrinin en ünlü şekillerinden biridir.

Koch kar tanesini yapmak için işe düz bir çizgiyle başlanır. Çizgi üç parçaya ayrılır ve ortadaki parça silinir:

Ortadaki boşluğa silinen parçayla aynı uzunlukta iki çizgi koyulur (bir eşkenar üçgen yapılırmış gibi):

Bundan sonraki her adımda şekilde düz çizgi bulunan her yere aynı işlemler yapılır. Önce her çizgi üç parçaya ayrılıp orta kısımlar çıkarılır:

Daha sonra bu boşluklara silinen parçayla eşit uzunlukta iki yeni çizgi eklenir:

Koch kar tanesinin aşamaları ve kar tanesi görünümü:

El yapımı bir fraktal olan Koch kar tanesinin boyutunu bulmak için formülü uygulayalım. Bilmemiz gereken şeyler fraktaldaki parçaların boyutları ve sayılarıdır.

Koch kar tanesini yaratmak için çizdiğimiz ilk çizgi toplamları 1 birim yapan üç eşit parçadan oluşur:

İkinci durumda bu parçalardan 4 tane vardır:

O halde Koch kar tanesinde parça uzunlukları 1/3, parça sayısı ise 4 olarak devam eder. Buradan Koch kar tanesinin fraktal boyutu (buna d diyelim) hesaplanabilir:

(1/3)^d = 4

d ≈ 1,26.

Koch Eğrisi

Koch kar tanesini oluştururken bir düz çizgiyi üç parçaya ayırıp orta parça yerine eşkenar üçgen koymuştuk. Gelin bunu değiştirelim ve ortaya kare koyalım:

Sadece üç adımda şeklin ne kadar karmaşıklaştığını görebilirsiniz:

Bu özel Koch eğrisinde her bir düz çizgi bir öncekinin 1/3’ü uzunluğunda iken her seferde fraktalda 5 parça düz çizgi oluşur:

Boyut formülü uygulanınca fraktalın boyutu aşağıdaki gibi hesaplanır:

(1/3)^d = 5

d ≈ 1,4649.

Peki boyutlar arasındaki fark neyi ifade ediyor?

Eğrinin Koch kar tanesinden daha yüksek boyuta sahip olması, eğrinin kar tanesinden hem daha fazla alan kapladığını hem de daha pürüzlü olduğunu gösterir.

Çıplak gözle de bunu fark etmek mümkündür:

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir başka el yapımı ünlü fraktal Waclaw Sierpinski’den adını alan Sierpinski üçgenidir.

Sierpinski üçgeni oluşturulurken önce büyük bir eşkenar üçgen çizilir ve bu üçgenin kenarları orta noktalarından işaretlenir:

İşaretli noktalar birleştirilerek dört yeni eşkenar üçgen ortaya çıkar. Yeni eşkenar üçgenlerden ortada olanı kesilirse şekil aşağıdaki gibi olur:

Sierpinski üçgeninin fraktal olduğunu gösterin.
Sierpinski üçgeninin fraktal boyutunu hesaplayın ve Koch kar tanesinin boyutuyla karşılaştırın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Strange Worlds #10

Tearing Papers Up

Use a stationery knife and cut an A4 paper. You will end up with pieces that have smooth sides. Hence you can use Euclidean geometry and its properties in order to find the perimeters of those pieces of papers:

However, when you tear a paper up using nothing but your hands you will be getting pieces that have rough sides as follows:

If you pay enough attention you will that the paper on the right looks just like map of an island.

In the previous article I used properties of Euclidean geometry to measure the length of a coastline and found infinity as an answer. Since those two torn papers look like an island or a border of a country, perimeters of those pieces of papers will also tend to infinity. This is indeed a paradox.

This paradox shows that Euclidean geometry is not useful when it comes to measure things/shapes that have roughness.

Birth of Fractals

“Clouds are not spheres, mountains are not cones, and coastlines are not circles…”

Benoit B. Mandelbrot

There are only shapes consist of dots, lines, curves and such in Euclidean geometry. On the other hand shapes of some natural phenomena can’t be described with Euclidean geometry. They have complex and irregular (rough) shapes. This is where we need a new kind of geometry.

In 1967 mathematician Benoit Mandelbrot (1924-2010) published a short article with the title “How long is the coast of Britain?” where he gave an ingenious explanation to coastline paradox. Furthermore, this article is accepted as the birth of a brand new mathematics branch: Fractal geometry.

The word fractal comes from “fractus” which means broken and/or fractured in Latin. There is still no official definition of what a fractal is. One of their most definitive specialties is “self-similarity”. Fractals look the same at different scales. It means, you can take a small extract of a fractal object and it will look the same as the entire object. This is why fractals are self-similar.

Romanesco broccoli has a fractal shape as you zoom in you will see shapes that look the same as the whole broccoli.

Fractals have infinitely long perimeters. Therefore measuring a fractal’s perimeter or area has no meaning whatsoever.

Coastlines are fractals also: As you zoom in on a coastline or a border line, it is possible to see small versions of the whole shape. (Click here for a magnificent example.) This means that if we had a way to measure a fractal’s perimeter, we can solve the coastline paradox.

So the big question is: What can one do to measure a fractal?

Dimension

According to Mandelbrot, it is possible to measure a fractal’s roughness degree; not its perimeter nor its area. Mandelbrot called this degree fractal dimension. He realized that fractals have different dimensions than the shapes we know from Euclidean geometry.

I will be talking about dimensions in Euclidean geometry before moving on to explaining how one can calculate the dimension of a fractal.

In the Euclidean geometry line has 1, plane has 2, space has 3 dimensions and so on. Teachers use specific examples when this is taught in schools. For space, a teacher asks his/her students to observe any corner of a ceiling:

There are 3 different directions one can choose to walk from that corner. While this is a valid example, it only shows what 3 dimensions look like.

Q: How can one calculate the dimension degree of an object/shape?

Line

Let’s draw a straight line and cut it into two halves:

If straight line had length 1, each segment now has length 1/2. And there are 2 segments in total.

Continue cutting every segment into two halves:

Now each segment has length ¼ and there are 4 line segments in total.

At the point a formula breaks out:

(1/Length of the line segments)^{Dimension Degree} = Number of total line segments

Let me call dimension degree as d.

For 4 line segments:

(1/1/4)^d = 4

4^d = 4

d = 1.

This concludes that line has 1 dimension.

Square

Let’s draw a square that has unit side lengths. At first cut each side into two halves:

There will be 4 little replicas of the original square. And each of those replicas has side length ½.

Apply the formula:

(1/1/2)^d = 4

2^d = 4

d = 2.

Let’s continue and divide each side into two halves. There will be 16 new squares:

Each side of these new squares has length ¼. Apply the formula:

(1/1/4)^d = 16

4^d = 16

d = 2.

This means that square has 2 dimensions.

To be continued…

One wonders…

Apply the same method and formula to find the dimension of a cube.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #10

Kağıt Yırtmak

Bir kağıdı maket bıçağıyla rastgele keselim. Kenarları pürüzsüz kesilen parçanın hem alanını hem de çevresini Öklid geometrisindeki özelliklerle tam olarak hesaplayabiliriz:

Aynı kağıdı elle yırtar isek yırtılan kısmın kenarları aşağıdaki gibi pürüzlü olur:

Dikkat ederseniz sağdaki kağıt parçası bir adanın haritasına benziyor.

Bir önceki yazıda herhangi bir adanın sahil şeridi uzunluğunu Öklid geometrisiyle hesaplamaya çalışınca cevabı sonsuz bulmuştuk. Aynı yöntem kullanıldığında elle yırtılmış bir kağıdın çevresi sonsuz uzunlukta çıkar.

Sahil şeridi paradoksu olarak bilinen bu durum bize herhangi bir şekil pürüzlü olduğunda Öklid geometrisinin işe yaramadığını gösterir.

Fraktalların Ortaya Çıkışı

“Bulutlar küre değil, dağlar koni değil, sahil şeritleri çember değil…”

Benoit B. Mandelbrot

Öklid geometrisi düzgün/pürüzsüz şekillerle ilgilenirken doğa pürüzlü şekillerle doludur. Okulda öğrenilen geometrideki şekillerin doğada karşılığı gerçekten çok azdır. Bu yüzden sahil şeridi paradoksunda olduğu gibi kimi doğa olaylarını açıklamak için bilinenden başka bir geometriye ihtiyaç duyulmuştur.

Matematikçi Benoit Mandelbrot (1924-2010) 1967’de yayımladığı “Britanya’nın sahil şeridi ne kadar uzun?” isimli makalede sahil şeridi paradoksuna dahiyane bir açıklama getirmişti. Fakat bu makalenin asıl önemi yepyeni bir matematik dalının, fraktal geometrinin doğumu olmasından gelir.

Latince’de kırık anlamına gelen fractus kelimesinden türetilmiş olan fraktal en basit haliyle “bütüne benzeyen parçalardan oluşan şekil” diye ifade edilebilir. Bir şeklin herhangi bir kısmını koparın. Eğer koparılan kısım tüm şekle benziyorsa (hatta kimi durumlarda tıpatıp aynısı da olabilir) şekil bir fraktaldır. Bu yüzden fraktallar “kendine benzer” şekillerdir.

Örneğin piramit karnabahar bitkisine iyice yakından bakarsak bitkinin kendine benzer olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla piramit karnabaharın şekli fraktaldır.

Fraktalların sonsuz uzunlukta çevresi vardır. Bu sebeple onların çevre veya alanlarını ölçmeye çalışmak beyhudedir. Yukarıdaki tanımlara göre sahil şeritleri de birer fraktal ifade eder. (Harikulade bir örnek için tıklayın.) Peki ne yapmalı da bunların çevre/alan büyüklüklerini bulmalı?

Boyut

Mandelbrot’a göre bir fraktalın çevre veya alanı değil, pürüzlülük derecesi bulunabilir. Bu dereceye fraktal boyutu diyen Mandelbrot fraktalların Öklid geometrisinin alışılagelmiş şekillerinden farklı boyutlarda olduğunu fark etmişti.

Öklid geometrisinde çizginin 1, düzlemin (alan) 2, uzayın (hacim) ise 3 boyutlu olduğu bize öğretilirken geometrik örnekler üzerinden gidilir. Mesela 3 boyut için bir odanın tavanının köşesine bakılır:

Köşeden çıkılarak gidilebilecek 3 ayrı yol odanın 3 boyutlu olduğunu anlatır. Fakat bu şekilde boyut kavramının nasıl hesaplandığı değil neye benzediği gösterilmiş olur.

Soru: Herhangi bir şeklin/cismin kaç boyutlu olduğu nasıl hesaplanır?

Çizgi

Bir düz çizgiyi iki eşit parçaya ayırın:

Parçaların uzunlukları ilk halin 1/2’si kadardır. Toplam parça sayısı ise 2’dir.

Parçaları ikiye bölmeye devam edin:

Yeni parçalar ilk halin 1/4’ü kadar uzunluktadır. Toplam parça sayısı ise 4’tür.

Burada şöyle bir formül yaratılır:

(1/Parçanın bir aygıtının oranı)^{Boyut derecesi} = Toplam parça sayısı

Boyut derecesine bundan sonra d diyeceğim.

4 parça için =>

(1/1/4)^d = 4

4^d = 4

d = 1.

Çizgi 1 boyutludur.

Kare

Bir karenin her kenarını iki eşit parçaya bölünce karşınıza 4 eşit kare çıkar:

Bu karelerin her birinin bir kenarı, orijinal karenin bir kenarının 1/2’si kadardır.

Formülü uygularsak =>

(1/1/2)^d = 4

2^d = 4

d = 2.

Gelin bölmeye devam edelim. Bu dört karenin her birinin kenarlarını iki eşit parçaya ayırınca 16 yeni kare ortaya çıkar:

Bu 16 karenin her birinin bir kenarı orijinal karenin bir kenarının 1/4’ü kadar uzunluktadır.

Formülü uygularsak =>

(1/1/4)^d = 16

4^d = 16

d = 2.

Yani kare 2 boyutludur.

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aynı yöntemi kullanarak küpün boyutunu hesaplayın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Strange Worlds #9

Island S

I own a private island near New Zealand. (In my dreams) Unfortunately I put it on the market due to the economical crisis. If I can’t sell my island I will have to use charter flights to Nice instead of using my private jet.

I created an ad on Ebay. But I choose a different approach when I set a price for my island:

“A slightly used island on sale for 100.000 dollars times the coastline length of the island.

Note: Buyer must calculate the length of the coastline.”

Soon enough I got an offer from a potential buyer. Buyer said he calculated the coastline length as follows:

Buyer used three straight lines in order to measure the length of the coastline. He took each line 8 km long which gave 8*3=24 km. Hence his offer was 24*100.000 = 2.400.000 dollars.

I thought my island worth more than that. Hence I asked the buyer to evaluate his bid again. He came up with a new bid:

This time buyer used seven 5-km-long lines: 5*7=35 km. Thus his second offer was 3.500.000 dollars.

Even though new offer is higher, I thought the buyer can do better. This is why I asked the buyer to measure the length of the coastline one more time:

At last buyer used sixteen 3-km-long lines: 3*16=48 km. Therefore buyer’s final last offer was 4.800.000 dollars.

Q: What is the highest bid I can get from a buyer?

Give yourself a second and think about the answer before continuing the article.

Coastline Paradox

As the buyer decreases the length of the ruler, length of the coastline will get bigger. What is the smallest length for the ruler?

1 cm?

1 mm?

1 mm divided by 1 billion?

There isn’t any answer for the smallest length of a ruler; it can be decreased up to a point where it is infinitely small.

Since there is a disproportion between the length of the ruler and the length of the coastline, coastline can have infinity length.

This is a paradox. Because it is a known fact that there isn’t any land on earth which has infinitely long coastline. Although using buyer’s measurement method, one can’t find an upper limit for the coastline of Island S.

Root of the Problem

British mathematician Lewis Fry Richardson (1881-1953) had done a very interesting research in the first part of the 20^th century. He wanted to know what factors would reduce the frequency of wars between any two country. One of the questions he asked was the following:

“Is there any correlation between the probability of war and the shared border length among two neighbor countries?”

Richardson took Spain and Portugal as an example. Therefore he wanted to know the border length between them. Richardson was really surprised when two countries reported their measurements. Even though they measured the same length, there was a difference of 200 km between two values.

This huge difference led Richardson to pursue the topic and he eventually came up with the coastline paradox.

Is there a sensible explanation for this paradox?

To be continued…

One wonders…

How can my island’s coastline be measured if I want to sell my island for more than 6.000.000 dollars?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #9

Serkan’ın Adası

Yeni Zelanda yakınlarında Serkan Adası isminde özel bir adanın sahibiyim. (Rüyamda) Fakat ekonomik kriz sebebiyle adayı satışa çıkarmak zorunda kaldım. Yoksa yakında Nice’e özel jet yerine tarifeli uçuşla gitmek zorunda kalacağım…

Ebay ve sahibinden’e ilanımı koydum. Fiyat belirlerken km²yerine farklı bir birim seçtim: “Sadece sahil şeridi uzunluğunun kilometresi başına 100.000 dolara sahibinden satılık az kullanılmış ada.”

20190214_203034 — Beyaz bölge: Serkan’ın adası.

Bir süre sonra ciddi bir alıcı ile pazarlığa tutuştuk. Alıcı sahil şeridinin uzunluğunu aşağıdaki gibi hesapladığını söyledi:

Her bir uzunluk 8 km’dir. Bu hesaba göre adanın sahil şeridi yaklaşık olarak 8*3=24 km’dir. Yani alıcının teklifi 24*100.000 = 2.400.000 dolardır.

Teklifi az bulduğum için alıcıdan aynı yöntemi kullanarak tekrar hesap yapmasını istedim. Alıcı aşağıdaki gibi yeni bir teklifle geldi:

Bu sefer alıcı tane 5 km olan düz çizgilerden 7 tane kullanır: 5*7=35 km. Alıcının yeni teklifi 35*100.000 = 3.500.000 dolardır.

Hala teklifin daha iyi olabileceğini düşündüğüm için alıcıdan bir kez daha sahil şeridinin uzunluğunu ölçmesini istedim. Gelen cevap aşağıdaki gibiydi:

Alıcı son teklifinde sahil şeridini tanesi 3 km uzunluğunda olan 16 tane düz çizgiyle ölçer: 3*16=48 km. Yani son teklif 4.800.000 dolardır.

Soru: Alıcıdan isteyebileceğim en yüksek fiyat nedir?

Yazıyı okumaya devam etmeden önce soru üzerine biraz düşünün.

Sahil Şeridi Paradoksu

Alıcı cetvelin boyutunu küçülttüğü sürece sahil şeridinin uzunluğu artacaktır. Peki herhangi bir cetvelin en küçük boyutu ne kadardır?

1 cm?

1 mm?

1 mm’nin milyarda 1’i?

Buna verebileceğimiz bir cevap yoktur; cetvel sonsuza dek küçültülebilir.

Cetvel ile sahil şeridinin uzunlukları birbirleriyle ters orantılı olduğu için sahil şeridi sonsuz uzunluktadır.

İşte bu noktada bir paradoks ortaya çıkmıştır. Çünkü dünya üzerinde bulunan bir adanın sonsuz sahil şeridine sahip olmadığı bariz bir gerçektir. Buna rağmen yaptığımız hesabın bir üst sınırı yoktur.

Sorunun Kökeni

İngiliz matematikçi Lewis Fry Richardson (1881-1953) 20. yüzyılın ilk yarısında çok ilginç bir araştırma yapmıştı. Richardson’un araştırması herhangi iki ülke arasında savaş çıkma olasılığının hangi etkenlere bağlı olduğunu anlamaya yönelikti. Richardson’un sıra dışı araştırmasındaki sorulardan biri şuydu:

“Komşu iki ülkenin birbiriyle savaşma ihtimalini paylaştıkları sınırın uzunluğu etkiler mi?”

İngiliz bilim insanı bu soruya bir cevap bulmak için İspanya ile Portekiz’in paylaştığı sınır uzunluğunu incelemek istedi. Fakat iki ülkenin resmi kayıtları Richardson’u şaşırtıcı bir sonuçla karşılaştırmıştı. Ülkelerin verdiği sınır uzunlukları arasında fark olması normaldi. Halbuki İspanya ile Portekiz’in aynı uzunluk için verdiği değerler arasında 200 km gibi büyük bir fark vardı.

Tıpkı Serkan’ın adasında olduğu gibi aynı şey için farklı uzunluklar bulunmuştu.

Sahil şeridi paradoksunun başlangıcı işte bu olaydı.

Peki bu paradoksun mantıklı bir açıklaması var mı?

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Serkan’ın adasının 6.000.000 dolardan daha fazla bir fiyata satılması için sahil şeridi uzunluğunun nasıl ölçülmesi gerekir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – What are the chances?! #5

Youngest ones will approve this: It is usually youngest kid’s duty to run errands for home. This is why I was the minister of errands until I left home for college. Walking to our local market covered most of my daily duties. On an average day I was walking towards the market more than a few times. On top of that, my school was about 20 meters away from that market. I memorized every centimeter square of that street while growing up.

Actually I wasn’t bothered with this as I was able to create games in any kind of situation in my childhood. For example as I was walking down that street I dribbled with stones. I pretended that every little round stone is a foot ball and I was the famous French footballer Zinedine Zidane.

My favorite game was something I called “walking the line” which I still play by myself.

Walking the Line

In my old neighborhood, floor was tiled with these stones:

In the game of walking the line, goal is to step inside the boundaries of those stones. For every step that crossed the boundary I get -1 score as for each of the successful steps that landed inside the boundaries of the stone I got +1.

Q: Pick any step during a walk. What is the probability of that step being a successful one?

Assumptions:

Assume that the shape of the foot is a rectangle.
Let the foot has sizes 30×6 cm.
Assume that the shape of the stone tiling is a square.
Let the square has size 60×60 cm.
Assume that foot always has the same direction when it lands on the square:

In order to take a successful step, foot can touch the boundary but never cross it. This actually means that the center of the foot (or the rectangle) must be inside a specific area.

20190212_134535 — Center of the rectangle.

Let’s assume that the top of the rectangle touches the top side of the square. In this case rectangle’s center would be exactly 15 cm away from the side of the square:

If this distance is less than 15 cm, it means that the rectangle crosses the boundary of the square:

Although, when this distance is between 15 and 45 cm, rectangle is considered to be inside the boundary of the square:

One can conclude the same for the lower side of the square.

It is also possible to observe that when the distance between the center of the rectangle and the boundary of the square is less than 3 cm, rectangle crosses the boundary of the square:

Although, when this distance is between 3 and 57 cm, one can know that rectangle is inside the square:

Conclusion

Thus, the probability of taking a random step that is successful (inside the boundary of the square) on a squared-tiling, foot’s/rectangle’s center must be inside the following area S:

Area of the square: 60*60 = 3600 cm².

Area of S: 54*30 = 1620 cm².

Probability of taking a successful step on a square:

1620/3600 = 0,45.

This means that for the given measurements it is possible to take a step that will not exceed the boundary of the squared-tiling 45% of the time.

One wonders…

Take a coin and a chess board. Flip the coin on the board. What is the probability of this coin landing inside one of the squares on the chess board?
What are the sizes of the coin and the square when there is more than 50% chance of winning?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Şans #5

En küçük çocuk olanlar bilir: Evle ilgili herhangi bir ayak işine gönderilen çoğunlukla evin en küçüğüdür. Bu yüzden çocukluğumun önemli bir kısmında ev-bakkal arasındaki ilişkinin başbakanı bendim. Bu yetmezmiş gibi okul hayatımın ilk sekiz yılını geçirdiğim yer de bakkalın hemen yanı başındaydı. Yani yıllar boyunca ev-okul-bakkal üçgeninde yürüyüp durdum.

Aslında bu olay pek canımı sıkmıyordu; çünkü küçükken hemen her durumdan kendime oyun çıkarabiliyordum. Örneğin bakkala doğru yürürken karşıma çıkan yuvarlağımsı bir taş futbol topuna, ben de zamanın en iyi futbolcularından biri olan Zidane’a dönüşürdüm.

Yaptığım yürüyüşler arasında en sevdiğim oyun ise hala devam ettirdiğim “çizgi yürüyüşü oyunu”dur.

Çizgi Yürüyüşü

Yaşadığımız semtte yerler resimdeki gibi taşlarla döşenmişti:

Çizgi yürüyüşü oyununda amaç atılan adımın taşın sınırlarını aşmamasıdır. Kendi kendime oynadığım bu oyunda eğer adımım taşın sınırları içindeyse +1, değilse -1 puan alırım.

Soru: Bir yürüyüş sırasında herhangi bir adımda +1 puan alma ihtimalim kaçtır?

Bilinmesi Gerekenler:

Ayağın şekli dikdörtgen kabul edilsin.
Ayak ölçüsü 30×6 cm olsun.
Taşların şekli kare kabul edilsin.
Bir kare şeklindeki taşın ölçüsü 60×60 cm olsun.
Her adım karenin içine aşağıdaki gibi düzgün ve dik şekilde denk geliyor olsun:

Bir adımın +1 puan alabilmesi için en fazla taşın sınırına denk gelmesi gerekir. Bu da aslında ayağın (yani dikdörtgenin) merkezinin belli bir alan içinde bulunması gerektiği anlamına gelir.

Dikdörtgenin üst kenarı tam olarak karenin üst kenarında olursa, dikdörtgenin merkezi karenin üst sınırına 15 cm uzakta olur:

Eğer dikdörtgenin merkezi karenin üst sınırına 15 cm’den daha az uzaklıkta ise, dikdörtgen karenin sınırını aşar:

Eğer dikdörtgenin merkezi karenin üst sınırına 15 cm’den daha fazla ama 45 cm’den daha az uzaklıkta ise, dikdörtgen karenin sınırları içinde kalır:

Üst için yaptığımız bu çıkarım alt sınırlar için de geçerlidir.

Dikdörtgenin merkezinin karenin sağ ve sol sınırına uzaklığı için de aynı şeylerden bahsedebiliriz. Eğer merkezin karenin sağ/sol sınırına uzaklığı 3 cm’den daha az ise, dikdörtgen karenin dışına taşar:

Mesafe 3 ile 57 cm arasında ise dikdörtgen karenin içindedir:

Sonuç

O halde atılan herhangi bir adımın taş karenin sınırları içinde kalması için adımın (yani dikdörtgenin) merkezinin aşağıdaki alan içerisinde yer alması gerekir:

Karenin tüm alanı: 60*60 = 3600 cm²

Adımın merkezinin bulunması gereken alan S: 54*30 = 1620 cm²

Atılan rastgele bir adımın karenin sınırları içinde kalma ihtimali:

1620/3600 = 0,45 olur. Yani bu ölçüler dahilinde rastgele attığım bir adımın kare şeklindeki taşın sınırlarını aşmama ihtimali %45’tir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Evde bir satranç/dama tahtanız varsa üzerine bir madeni para atın. Paranın kare kutucuklardan birinin içinde düşme ihtimali nedir?
Hangi ölçülerle bu ihtimal %50’den fazla olur?

M. Serkan Kalaycıoğlu